Mevzubahis vatansa gerisi teferruattır.

İşte Çözülemeyen Matematik Problemleri

Geçen hafta olağan pazartesilerden biri idi ve Marmara Üniversitesinde dersim vardı. Ekonometri kürsüsündeyiz ama matematik sohbetlerimiz devam ediyor. Hocam Doç. Tuncay Çam ve aynı kürsüde öğretim görevlisi olan can dostum Yard. Doç. Habip Koçak ile halen matematikte ispatlanmamış teoremlerin olduğunu konuşuyorduk. Habib Fermatın bir teoreminin ispatını ufak bir kağıt üzerine yazmak için girişimde bulunup yazdığı notu iletti bize: Şu anda sayfada yeterli yer olmadığından ispat araştırmacıya bırakılmıştır!Fermatın bir hukukçu olması ve matematiği bir amatör ruhla irdelemesine rağmen 17. yüzyıldan beri çözülememiş teoremi mevcuttur. Buradan hareketle nette bir araştırma yaptım ve sizlerle paylaşıyorum:

İşte Ünlü Problemler:

Yeryüzünde henüz cevabını kimsenin bilmediği sorular var!

  • Goldbach Kestirimi
  • Asal Sayılardan Karışık
  • Mükemmel Sayı Sorusu
  • Palindromik Sayılar
  • Collatz Problemi
  • Riemann Hipotezi
  • Binyılın Problemleri

Goldbach Kestirimi

1742′de Goldbach, Euler’e yazdığı bir mektupta “2′den büyük her çift sayı, iki asal sayının toplamı şeklinde ifade edilebilir” önermesinin, ya doğru olduğunu ispatlamasını ya da bunu sağlamayan bir örnek göstererek yanlış olduğunu ispatlamasını istedi. Goldbach kestirimi olarak bilinen bu hipotezle asal sayılar dünyasına yeni bir heyecan geldi. Bu heyecan o gün bugündür tüm matematikseverleri sardı. Yine de henüz bir cevap bulunamadı.

Ayrıca, 2′den başlayarak her çift sayıya 3 sayısı (ki bu bir asal sayı) ekleyerek tek sayılar kümesi elde edilebildiğine göre (örneğin:5=2+3; 7=4+3; 9=6+3…) her çift sayı 2 asal sayının toplamı ise her tek sayı da üç asal sayının toplamıdır denilebilir. Bu ifade de zayıf (ya da tek) Goldbach kestirimi olarak bilinir. Henüz bunun da bir yanıtı yok. Ancak bir Türk Foldbach kestirimini ispatladığını iddia ediyor, adı da ŞÜKRÜ SERTTOP. Şükrü beyin yolunun açık olması dileklerimle…


Asal Sayılardan Karışık

Asal sayılara ilişkin pek çok bilgi henüz gün ışığına çıkmadı. Bunun yanı sıra ortaya atılmış ama ispatlanmamış pek çok da kestirim var. İşte bunlardan birkaçı:

* n2 ve (n + 1)2 arasında daima bir asal var mıdır?

* İkiz Asallar: İkiz asallar yani aralarındaki fark 2 olan asallar sonsuz tane midir?

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43). ..???

* Bugün hala sonsuz tane elemanı olduğu kesin olarak ispatlanmayan (ama öyle olduğu tahmin edilen) bir diğer küme de farkı 2n olan asal çiftlerinin oluşturduğu kümelerin hepsinin sonsuz tane eleman içerdiği sanısı.Bu kestirimi ortaya atarak problemi genel bir boyuta taşıyansa da Alphonse de Polignac (1849). Örneğin Kuzen asallar olarak bilinen aralarındaki fark 4 olan asal sayıların oluşturduğu küme sonsuz eleman içerir mi?

* (n2 +1) formunda yazılabilen sonsuz tane asal var mıdır?

* Fermat Asalları: 17. yüzyılda amatör matematikçi ünvanı ile bilinen Fermat asal sayılar konusuna oldukça önemli katkılarda bulundu. Bu katkılar arasında doğru olduğunu iddia edip ispatlayamadığı kestirimler de vardı. Örneğin + 1 biçimindeki sayıların her n doğal sayısı için bir asal verdiğini iddia etti. Bu biçimdeki sayılara Fermat sayıları asal olanlara da Fermat asalları denir. Gerçekten de 5′e kadar tüm doğal sayılar için asal değer veren ifadenin yanlış olduğu ancak 100 yıldan fazla zaman sonra anlaşılabildi. n=5 için 232 + 1 = 4294967297 sayısının 641 ile bölündüğünün farkına varansa Euler oldu. Bugün ispatı yapılması beklenen önermelerden bir diğeriyse “Fermat asalları sonlu tanedir” kestirimi. Bu ifadenin en güçlü gerekçesiyse şimdiye kadar sadece 5 tane Fermat asalının bulunmasıdır

*Mersenne Asalları: Fermat’ın sıkça fikir alışverişinde bulunduğu çağdaşı Mersenne 2n – 1 şeklindeki sayılar üzerinde çalışıyordu. Mersenne sayıları (Mn) adı verilen bu sayıların başlangıçta n asal olduğunda asal değer verdiği düşünüldü. Gerçekten de n=11′e kadar doğru çalışan fikir 11′de asal olmayan bir değer alınca bu düşüncenin de yanlış olduğu anlaşılabildi ama 2n – 1′in asal olması için n’nin asal olması gerektiği şartı doğrudur. Yine de matematikçiler bu sayıların peşini bırakmadı. Sonsuz tane olup olmadıkları hala merak edilen Mersenne sayılarından Aralık 2005 itibariyle 43.sü bulundu.

Mükemmel Sayı Sorusu

Mükemmel sayı kendisi haricindeki tüm çarpanlarının toplamı kendisini veren sayıdır. Örneğin 6 bir mükemmel sayıdır çünkü kendisi haricindeki çarpanları yani 1, 2 ve 3 toplanınca kendisini verir: 1 + 2 + 3 = 6. Diğer örneklerse 28, 496, 8128 şeklinde gidiyor. Şimdiye kadar hiç tek mükemmel bir sayıya rastlanmamış. Merak edilen böyle bir sayının varolup olmadığı. Eğer vardır diyorsanız bu sayıyı, saklandığı yerden bulup çıkarmalı, ya da olmadığını iddia ediyorsanız bunu ispatlamalısınız.


Palindromik Sayılar

Kapak, kütük, sus, yay, kepek kelimeleri ilginç bir ortak özellik ile dikkat çekiyor: düzden ve tersten okunduğunda aynı. Benzer bir yapıya sahip olan palindromik sayılar da düzden ve tersten okunduğunda aynı olan sayılardır:
1991, 10001, 12621, 79388397, 82954345928.

Bu alandaki açık soru ise şöyle:

Hem asal hem de palindromik olan sonsuz tane asal sayı bulunabilir mi?


Collatz Problemi

Önce bir pozitif tamsayı seçin. Bu sayıya yapılcak işlem şu:

Sayı tekse 3 katını alıp 1 ekleyin. Sayı çiftse 2′ye bölün.

Aynı işleme çıkan sayıya uygulayın. En sonunda elde edeceğiniz sayı1′dir.

Örneğin 8 sayısını ele alalım:

8-(2′ye böl)-4-(2′ye böl)-2-(2′ye böl)-1

5-(3 katını al 1 ekle)-16-8-4-2-1

Seçtiğiniz sayıya dikkat edin. Örnek olarak 27 sayısını seçtiyseniz 1 sayısını bulmanız için 112 basamak ilerlemeniz gerektiriyor. Tabi kaç basamak alacağı sayının büyük veya küçük olmasıyla ilgili değil. Sadece bu algoritmanın her zaman 1 cevabını verdiğini ispatlamanın peşinde koşmayın. Unutmayın ki sonunda 1 vermeyen bir sayı da varolabilir ve bu da, sorunun cevaplandığı anlamına gelir.


Riemann Hipotezi

Bilindiği gibi asal sayılar düzenli bir dağılıma sahip değiller. Alman matematikçi G.F.B. Riemann (1826 – 1866) asal sayıların dağılımlarının Riemann-Zeta adını verdiği bir fonksiyon ile çok yakından ilişkili olduğunu gözlemledi. Söz konusu olan fonksiyon şöyle:

Bu fonksiyon s’nin 1 dışındaki her kompleks sayı değeri için tanımlıdır.

Riemann Hipotezine göre bu fonksiyonun, (s) = 0 ifadesini sağlayan tüm önemsiz olmayan s değerleri, reel kısmı ½ olan düşey doğru üzerine düşer (bu doğruya kritik doğru deniyor). İlk 1 500 000 000 değer için bu doğruluk tespit edilmiş olsa da asıl istenen, söz konusu tüm değerler için doğru olduğunun ispatlanması. Bu sorunun başında 1 milyon dolar ödül konulduğunu unutmayın!

Binyılın Problemleri: 1 milyon dolar kazanmak isteyenlere!

1 milyon dolar, yani bugün yaklaşık 1,5 milyon YTL (1,5 trilyon TL) kazanmak ister misiniz? Bunun için yapmanız gereken tek şey, belirlenmiş 7 sorudan birinin doğru cevabını vermeniz lazım. Defter, kitap serbest; süre sınırlaması da yok! Cevabı ilk veren siz olun da isterseniz aradan 100 yıl geçsin. Dikkatli olun, çünkü sözkonusu sorular, yeryüzünde henüz yanıtını kimsenin bilmediği ve uzun yıllar boyu çözülmeye ısrarla direnen cinsten sorular. Aynı zamanda, cevabı bulanın da yaşam standartlarını değiştirecek sorular bunlar. İlginç olansa başarıya ulaşan insanlar, özellikle de matematikçiler, bu paranın hayalini kurdukları için değil matematik yapmayı sevdikleri ve bu alanda başarı istedikleri için kolları sıvıyorlar. Para, bu başarının sonunda gelen bir ödülden başka birşey değil, onlar için.

Cambridge Massachusetts ‘de kurulan Clay Matematik Enstitüsü, 24 Mayıs 2000′de çözülmekte inatçı, matematiğin farklı branşlarındaki 7 problemini Milenyum Problemleri olarak adlandırdığını ve her bir problemi ilk çözen kişiye 1′er milyon dolar vereceğini ilan etti. Bu soruları anlamak, bir parça matematik temeli gerektiriyor. Bu durum matematiğin, hızla büyümesinin ve lise eğitiminin onu yakalamaya yetmemesinin bir sonucu olabilir. Soruları anlamak için üniversitede matematik okumak şart değil elbette, sadece Fermat’ın son teoremini, Goldbach ya da ikiz asallar kestirimini anlamaktan daha fazla çaba sarfetmek lazım. Eğer Riemann Hipotezi, P, NP’ye karşı Hodge Kestirimi, Yang-mills Kuramı, Poincare Kestirimi, Navier Stokes denklemleri, Birch ve Swinnerton-Dyer Kestirimi başlıklı sorulardan birinin yanıtını bulduysanız bu organizsonu yapan Clay Matematik Enstitüsü’ne yollamadan önce uluslarası kabul gören hakemli bir dergide yayınlamanız gerekiyor. Daha ayrıntılı bilgi için www.claymath.org

*Clay Enstitüsü’nün belirlemiş olduğu bu 7 problemin 1 tanesi, Pointcaré Kestirimi 2006′da resmi olarak teorem haline geldi. Petersburg’daki Steklov Enstitüsü matematikçilerinden Grişa Perelman’ın 2002′de yayınladığı ispatın doğru olduğu resmen 2006 Dünya Matematikçiler Birliği’nin Madrid’teki kongresinde açıklandı. Diğer taraftan, Navier-Stokes Denklemleri’nin de 2006 içinde çözüldüğü duyuruldu. Ancak değerlendirmeler devam ediyor. Şu an için 1000 yılın promlemlerinden çözüm bekleyenlerin sayısı 5 taneye düşmüş gözüküyor.

Yardımcı Kaynak: Serhat Yolaçan

23 yorum var

  1. bi tane de ben ekleyim. her asal sayının arasında kalan tüm sayıların asal olan katı varmı dır

    yani 2 3 dört 5 altı 7 sekiz dokuz on 9 11
    2 2 2 3 5

  2. çok güzel ve benim için gerekli bir paylaşım bu bilgiler için t.ederim…

  3. arkadaşlar ”6 bir mükemmel sayı değildir çünküü çarpanları 1,2,3,6 dır topla 12 gelio mükemmellik yok!!!
    Demir adam yorumunu yayınladım lakin tanıma bakarsan mükemmel olabilmesi için kendisi hariç olmalı yani 6 yı almayacaksın değil mi?:)

  4. slm millet ben mükemmel sayların isbatını yaptım ne yazikki TÜBİTAK inceleyemiyor hocalar dogru diyor tübitak bişe demiyor :) ama harbiden çözdüm

  5. sayın arkadaşlar ben mükemmel sayılar sorusunu çözdüm tübitak inceleyemyor dedikleri cevap şu çözümden [n.(n+1)]/2 her tek sayı için sonsuzda bi yerde tek çıkabilirmiş

  6. ben 28in nasıl mükemmel olduğunu anlayamadım. 1.2.2.7=28
    1+2+2+7=12 VEYA 1.2.14=28 1+2+14=17. aydınlatırsanız sevinirim..

  7. 28=1+2+4+7+14 tür. Bu nedenle mükemmel bir sayıdır.

  8. arkadaşlar ben 14 yaşındayım ve Collatz Problemi ile ilgili bazı sonuçlara vardım tam olarak bu problemin üstünde 6 aydır çalışıyorum fakat http://www.claymat.org sitesine vardığım sonuçları yayınlayacaktım fakat site ingilizce yazıyor ve nereden gireceğimi bulamadım bana yardım ederbilir misiniz?

  9. herşey kontrolüm altında çözüme yakınım sadece bir kaç ay daha gerekli D. Sevrük

  10. bende çalışıyorum ama çarpım tablosuna olan inancımı yitirmek üzereyim.lütfen yardım edin

  11. Collatz Problemi çok saçma çift seçersek 6 yı aldığımız da 2 ye bölersek 3 çıkar daha fazla bölünmez ..

  12. tugii

    saçma değil çıkan sayıyada uygulaman gerekli onu 6 bölü 2 3

    3 e 1 ekle 4 4 / 2 =2 2/2= 1

  13. Her sorunun cozumu icin soylenen para dogrumu yalan olabilir mi ?

  14. Collatz Problemi
    Önce bir pozitif tamsayı seçin. Bu sayıya yapılcak işlem şu:
    Sayı tekse 3 katını alıp 1 ekleyin. Sayı çiftse 2′ye bölün.
    Aynı işleme çıkan sayıya uygulayın. En sonunda elde edeceğiniz sayı1′dir.
    Örneğin 8 sayısını ele alalım:
    8-(2′ye böl)-4-(2′ye böl)-2-(2′ye böl)-1
    5-(3 katını al 1 ekle)-16-8-4-2-1
    Seçtiğiniz sayıya dikkat edin. Örnek olarak 27 sayısını seçtiyseniz 1 sayısını bulmanız için 112 basamak ilerlemeniz gerektiriyor. Tabi kaç basamak alacağı sayının büyük veya küçük olmasıyla ilgili değil. Sadece bu algoritmanın her zaman 1 cevabını verdiğini ispatlamanın peşinde koşmayın. Unutmayın ki sonunda 1 vermeyen bir sayı da varolabilir ve bu da, sorunun cevaplandığı anlamına gelir.
    ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,bu sorunun cevabini buldum arkadaslar bir milyonu aldimmi yanu

  15. Palindromik Sayılar
    Kapak, kütük, sus, yay, kepek kelimeleri ilginç bir ortak özellik ile dikkat çekiyor: düzden ve tersten okunduğunda aynı. Benzer bir yapıya sahip olan palindromik sayılar da düzden ve tersten okunduğunda aynı olan sayılardır:
    1991, 10001, 12621, 79388397, 82954345928.
    —————————————————————————
    selam arkadaslar bunuda cözdüm demin gercektencok ugrastim
    demekki calisana mevlam veriyormus

  16. mükemmel sayı sorusunu çözdüm formülsüz kanıtladım nereye başvurabilirim ?? yardımcı olurmusunuz ?

  17. bunlarda sorumu ya sız gelın bızım matematıkcının sorularını çozun:):) adam kazık soruo abi yhaaaaa.d.d.d

  18. lütfen bana yardımcı olun riemann hipotezini buldum ispatladım ve kesinlikle eminim ama nereye nasıl ne yapacağımı bilmiyorum kimseye güvenemiyorum bunun için bana yardımcı olun lütfen

  19. Bence mükemmel sayı 2 dir.Yav arkadaş matamatiğin içine bu kadar tükürülmezki.:) bakın mesela mükemmel sayı problemi 2 ile patlıyo.2 nin çarpanları yanlızca 1 ve 2 dir kendisini çıkarırsak 1:2 olmdığına göre…:)

  20. aa

    (6/3)+(2+1)=6

  21. 3863 sayısına Collatz fonksiyonunu uyguladım ve işlermler sonucunda 3 ile çarpıp 1 eklediğimde 171 çıktı. işlemlerimde bir yanlış yoksa böyle

  22. çok süper sayfa

  23. Selam, cevabi buldugumuz takdirde iletisime gece bileceyimiz ilgili kurumlar varmi?

İçinizde kalmasın, siz de yorum yazın.